高中数学学科测试试卷+答案解析

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高中数学学科测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二总分得分评卷人得　分一．单选题（共__小题）1．设集合P={x|x=2k-1，kZ}∈，集合Q={y|y=2n，nZ}∈，若x0P∈，y0Q∈，a=x0+y0，b=x0•y0，则（　　）A．aP∈，bQ∈B．aQ∈，bP∈C．aP∈，bP∈D．aQ∈，bQ∈2．用C（A）表示非空集合A中元素个数，定义A*B=，若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}且A*B=1，则实数a的所有取值为（　　）A．0B．0，-C．0，2D．-2，0，23．设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3-a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（　　）A．78B．76C．84D．834．已知集合M={mR|m≤∈}，a=+，则（　　）A．{a}M∈B．aM∉C．{a}是M的真子集D．{a}=M5．下列各式：①1{0∈，1，2}；②∅⊆{0，1，2}；③{1}{0∈，1，2004}；④{0，1，2}{0⊆，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个第1页（共16页）6．设A={y|y=-1+x-2x2}，若mA∈，则必有（　　）A．m{∈正有理数}B．m{∈负有理数}C．m{∈正实数}D．m{∈负实数}7．已知集合A={1，2，3}，则B={x-y|xA∈，yA}∈中的元素个数为（　　）A．9B．5C．3D．18．设集合，m=20.5，则下列关系中正确的是（　　）A．mP⊊B．mP∉C．mP∈D．mP⊆9．设M={a}，则下列写法正确的是（　　）A．a=MB．aM∈C．aM⊆D．aM10．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|nZ}∈，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2013[3]∈；②-2[2]∈；③Z=[0][1][2][3][4]∪∪∪∪；④当且仅当“a-b[0]”∈整数a，b属于同一“类”．其中，正确结论的个数为．（　　）A．1B．2C．3D．411．下列六个关系式：①{a，b}{b⊆，a}②{a，b}={b，a}③0=④0{0}⑤{0}⑥{0}∅∈∅∈∅⊆其中正确的个数为（）A．6个B．5个C．4个D．少于4个12．设集合P={x|x2+x-6=0}，则集合P的元素个数是（　　）A．0B．1C．2D．313．已知集合A={a}，则下列各式正确的是（　　）A．aAB．aA∈C．aA∉D．a=A第2页（共16页）评卷人得　分二．简答题（共__小题）14．若集合{x，y，x}={1，2，3}，且下列三个关系：①x=1；②y≠1③z=2有且只有一个是正确的，求符合条件的有序数组（x，y，z）15．S1、S2、S3为非空整数集合，对应1、2、3的任意一个排列i、j、k，若xS∈i，yS∈j，则y-xS∈k（1）证明：3个集合中至少有两个相等（2）3个集合中是否可能有两个集合无公共元素？16．已知集合A={xR|x∈2+2x+a=0}．（1）若A中只有一个元素，求实数a的值，并求出这个元素；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．17．已知集合A={0，2a-1，a2}，B={a-5，1-a，9}，分别求符合下列条件的a的值．（1）9∈（A∩B）；（2）{9}=A∩B．18．当a，b在实数范围内变化时，函数f（x）=acosx+bsinx的全体记为集合M．（1）求证：当a1=a2，b1=b2（a1，a2，b1，b2R∈）不同时成立时，f1（x）=a1cosx+b1sinx和f2（x）=a2cosx+b2sinx是集合M中的两个不同的元素；（2）若f0（x）=a0cosx+b0sinxM∈，对任意tR∈，函数f0（x+t）的全体记为集合A，证明：AM⊆．19．设M=a{a|a=x2-y2，x，yZ}∈．（1）求证：2k+1M∈，（其中kZ∈）；（2）求证：4k-2M∉，（其中kZ∈）（3）属于M的两个整数，其积是否属于M．20．已知集合A={x|x=3n+1，nZ}∈，B={x|x=3n+2，nZ}∈，M={x|x=6n+3，nZ}∈，对于任意aA∈，bB∈，是否一定有a+b=m且mM∈？第3页（共16页）高中数学学科测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二总分得分评卷人得　分一．单选题（共__小题）1．设集合P={x|x=2k-1，kZ}∈，集合Q={y|y=2n，nZ}∈，若x0P∈，y0Q∈，a=x0+y0，b=x0•y0，则（　　）A．aP∈，bQ∈B．aQ∈，bP∈C．aP∈，bP∈D．aQ∈，bQ∈答案：A解析：解：∵x0P∈，y0Q∈，设x0=2k-1，y0=2n，n，kZ∈，则x0+y0=2k-1+2n=2（n+k）-1P∈，x0y0=（2k-1）（2n）=2（2nk-n），故x0y0Q∈．故aP∈，bQ∈，故选A．2．用C（A）表示非空集合A中元素个数，定义A*B=，若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}且A*B=1，则实数a的所有取值为（　　）A．0B．0，-C．0，2D．-2，0，2答案：D解析：第4页（共16页）解：由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等价于x2+ax=0①或x2+ax+2=0②，又由A={1，2}，且A*B=1，∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，a=0∴；2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即，解得a=±2，综上所述a=0或a=±2，故选：D．3．设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3-a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（　　）A．78B．76C．84D．83答案：D解析：解：从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C93个，其中A={1，2，9}不合条件，其它的都符合条件，所以满足条件的集合A的个数C93-1=83．故选D．4．已知集合M={mR|m≤∈}，a=+，则（　　）A．{a}M∈B．aM∉C．{a}是M的真子集D．{a}=M答案：C解析：解：；第5页（共16页）∴，即a＜；aM∴∈，且存在∈M，但∉{a}；{a}∴是M的真子集．故选：C．5．下列各式：①1{0∈，1，2}；②∅⊆{0，1，2}；③{1}{0∈，1，2004}；④{0，1，2}{0⊆，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A解析：解：：①1{0∈，1，2}，元素与集合之间用属于符号，故正确；②{0∅⊆，1，2}；空集是任何集合的子集，正确③{1}{0∈，1，2004}；集合与集合之间不能用属于符号，故不正确；④{0，1，2}{0⊆，1，2}，集合本身是集合的子集，故正确⑤{0，1，2}={2，0，1}，根据集合的无序性可知正确；故选：A6．设A={y|y=-1+x-2x2}，若mA∈，则必有（　　）A．m{∈正有理数}B．m{∈负有理数}C．m{∈正实数}D．m{∈负实数}答案：D解析：解：y=；∴若mA∈则m＜0，所以m{∈负实数}．故选D．7．已知集合A={1，2，3}，则B={x-y|xA∈，yA}∈中的元素个数为（　　）A．9B．5C．3D．1答案：B解析：第6页（共16页）解：∵A={1，2，3}，B={x-y|xA∈，yA}∈，x=1∴，2，3，y=1，2，3．当x=1时，x-y=0，-1，-2；当x=2时，x-y=1，0，-1；当x=3时，x-y=2，1，0．即x-y=-2，-1，0，1，2．即B={-2，-1，0，1，2}共有5个元素．故选：B．8．设集合，m=20.5，则下列关系中正确的是（　　）A．mP⊊B．mP∉C．mP∈D．mP⊆答案：C解析：解：∵集合=，m=20.5=，则mP∈．故选C．9．设M={a}，则下列写法正确的是（　　）A．a=MB．aM∈C．aM⊆D．aM答案：B解析：解：因为集合M={a}，a是集合的元素，所以选项B正确；A、C、D错在a不是集合．故选B．10．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|nZ}∈，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2013[3]∈；②-2[2]∈；③Z=[0][1][2][3][4]∪∪∪∪；④当且仅当“a-b[0]”∈整数a，b属于同一“类”．其中，正确结论的个数为．（　　）第7页（共16页）A．1B．2C．3D．4答案：C解析：解：①∵2013÷5=402…3，∴2013[3]∈，故①正确；②-2=5×∵（-1）+3，∴-2[3]∈，故②错误；③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0][1][2][3][4]∪∪∪∪，故③正确；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故当且仅当“a-b[0]”∈整数a，b属于同一“类”．故④正确．正确的结论为①③④．故选：C．11．下列六个关系式：①{a，b}{b⊆，a}②{a，b}={b，a}③0=④0{0}⑤{0}⑥{0}∅∈∅∈∅⊆其中正确的个数为（）A．6个B．5个C．4个D．少于4个答案：C解析：解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；根据元素与集合之间可知④正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．故选C．12．设集合P={x|x2+x-6=0}，则集合P的元素个数是（　　）A．0B．1C．2D．3答案：C解析：解：集合P={x|x2+x-6=0}，解方程x2+x-6=0，得两根：2，-3第8页（共16页）则集合P的元素个数是2．故选C．13．已知集合A={a}，则下列各式正确的是（　　）A．aAB．aA∈C．aA∉D．a=A答案：B解析：解：∵集合A={a}，aA∴∈故选B评卷人得　分二．简答题（共__小题）14．若集合{x，y，x}={1，2，3}，且下列三个关系：①x=1；②y≠1③z=2有且只有一个是正确的，求符合条件的有序数组（x，y，z）答案：解：（1）若x=1正确，则y≠1正确，不符合只有一个正确；（2）若y≠1正确，则x≠1，z≠2；z=1∴，x=2，y=3，或z=1，x=3，y=2；（3）若z=2正确，则x≠1，y=1；x=3∴，y=1，z=2；∴符合条件的有序数组（x，y，z）为：（2，3，1），（3，2，1），（3，1，2）．解析：解：（1）若x=1正确，则y≠1正确，不符合只有一个正确；（2）若y≠1正确，则x≠1，z≠2；z=1∴，x=2，y=3，或z=1，x=3，y=2；（3）若z=2正确，则x≠1，y=1；x=3∴，y=1，z=2；∴符合条件的有序数组（x，y，z）为：（2，3，1），（3，2，1），（3，1，2）．第9页（共16页）15．S1、S2、S3为非空整数集合，对应1、2、3的任意一个排列i、j、k，若xS∈i，yS∈j，则y-xS∈k（1）证明：3个集合中至少有两个相等（2）3个集合中是否可能有两个集合无公共元素？答案：解：（1）证明：若xS∈i，yS∈j，则y-xS∈k，从而（y-x）-y=-xS∈i，所以Si中有非负元素；由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素；若三个集合都没有0，则取S1S∪2S∪3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在）；不妨设aS∈1，取S2S∪3中的最小正整数b，并不妨设bS∈2，这时b＞a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b-a=0S∈3，矛盾）；但是，这样就导致了0＜b-a＜b，且b-aS∈3，这时与b为S2S∪3中的最小正整数矛盾；∴三个集合中必有一个集合含有0．∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0S∈1，则对任意xS∈2，有x-0=xS∈3；S∴2包含于S3；对于任意yS∈3，有y-0=yS∈2；S∴3包含于S2，则S2=S3；综上所述，这三个集合中必有两个集合相等；（2）可能；比如S1={奇数}，S2={奇数}，S3={偶数}；这时S1∩S3=∅．解析：解：（1）证明：若xS∈i，yS∈j，则y-xS∈k，从而（y-x）-y=-xS∈i，所以Si中有非负元素；由i，j，k的任意性可知三个集合中都有非负元素；若三个集合都没有0，则取S1S∪2S∪3中最小的正整数a（由于三个集合中都有非负整数，所以这样的a存在）；不妨设aS∈1，取S2S∪3中的最小正整数b，并不妨设bS∈2，这时b＞a（否则b不可能大于a，只能等于a，所以b-a=0S∈3，矛盾）；但是，这样就导致了0＜b-a＜b，且b-aS∈3，这时与b为S2S∪3中的最小正整数矛盾；∴三个集合中必有一个集合含有0．第10页（共16页）∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设0S∈1，则对任意xS∈2，有x-0=xS∈3；S∴2包含于S3；对于任意yS∈3，有y-0=yS∈2；S∴3包含于S2，则S2=S3；综上所述，这三个集合中必有两个集合相等；（2）可能；比如S1={奇数}，S2={奇数}，S3={偶数}；这时S1∩S3=∅．16．已知集合A={xR|x∈2+2x+a=0}．（1）若A中只有一个元素，求实数a的值，并求出这个元素；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．答案：解：（1）若集合A={x|x2+2ax+1=0，aR∈，xR}∈中只有一个元素，则关于x的一元二次方程x2+2ax+1=0有两个相等的实根，即：△=4a2-4=0，解得，a=±1，a=1∴时，解x2+2x+1=0，解得：x=-1，a=-1时，解x2-2x+1=0，解得：x=1；（2）若集合A={x|x2+2ax+1=0，aR∈，xR}∈中至多一个元素，则△=4a2-4≤0解得：-1≤a≤1．解析：解：（1）若集合A={x|x2+2ax+1=0，aR∈，xR}∈中只有一个元素，则关于x的一元二次方程x2+2ax+1=0有两个相等的实根，即：△=4a2-4=0，解得，a=±1，a=1∴时，解x2+2x+1=0，解得：x=-1，a=-1时，解x2-2x+1=0，解得：x=1；（2）若集合A={x|x2+2ax+1=0，aR∈，xR}∈中至多一个元素，则△=4a2-4≤0解得：-1≤a≤1．17．已知集合A={0，2a-1，a2}，B={a-5，1-a，9}，分别求符合下列条件的a的值．第11页（共16页）（1）9∈（A∩B）；（2）{9}=A∩B．答案：解：（1）9∈（A∩B）；9A∴∈；2a-1=9∴，或a2=9；a=5∴，或a=±3；①a=5时，A={0，9，25}，B={0，-4，9}，满足条件；②a=3时，B={-2，-2，9}，不满足集合元素的互异性；③a=-3时，A={0，-7，9}，B={-8，4，9}，满足条件；a=5∴，或-3；（2）{9}=A∩B；同样得到9A∈；由（1）知，a=5时，A∩B={0，9}，不满足条件；a=3时集合B不存在，a=-3时有A∩B={9}；a=-3∴．解析：解：（1）9∈（A∩B）；9A∴∈；2a-1=9∴，或a2=9；a=5∴，或a=±3；①a=5时，A={0，9，25}，B={0，-4，9}，满足条件；②a=3时，B={-2，-2，9}，不满足集合元素的互异性；③a=-3时，A={0，-7，9}，B={-8，4，9}，满足条件；a=5∴，或-3；（2）{9}=A∩B；同样得到9A∈；由（1）知，a=5时，A∩B={0，9}，不满足条件；a=3时集合B不存在，a=-3时有A∩B={9}；a=-3∴．第12页（共16页）18．当a，b在实数范围内变化时，函数f（x）=acosx+bsinx的全体记为集合M．（1）求证：当a1=a2，b1=b2（a1，a2，b1，b2R∈）不同时成立时，f1（x）=a1cosx+b1sinx和f2（x）=a2cosx+b2sinx是集合M中的两个不同的元素；（2）若f0（x）=a0cosx+b0sinxM∈，对任意tR∈，函数f0（x+t）的全体记为集合A，证明：AM⊆．答案：（1）：反证法，假设f1（x）=f2（x）（a1-a2）cosx+（b1-b2）sinx=0M中元素样式中，x是变量，cosx有不为零的可能，当cosx≠0时，（a1-a2）+（b1-b2）tanx=0，∵以tanx为变量的一元一次方程有无数个解，∴a⇒1=a2且b1=b2，与a1，a2，b1，b2不同时相等矛盾；（2）对于任意的t，f0（x+t）=a0cos（x+t）+b0sin（x+t）=a0（cosxcost-sinxsint）+b0（sinxcost+cosxsint）=（a0cost+b0sint）cosx+（b0cost-a0sint）sint，令a0cost+b0sint=at，b0cost-a0sint=bt，则f0（x+t）=（a0cost+b0sint）cosx+（b0cost-a0sint）sint=atcosx+btsintM∈，原命题得证．解析：（1）：反证法，假设f1（x）=f2（x）（a1-a2）cosx+（b1-b2）sinx=0M中元素样式中，x是变量，cosx有不为零的可能，当cosx≠0时，（a1-a2）+（b1-b2）tanx=0，∵以tanx为变量的一元一次方程有无数个解，第13页（共16页）∴a⇒1=a2且b1=b2，与a1，a2，b1，b2不同时相等矛盾；（2）对于任意的t，f0（x+t）=a0cos（x+t）+b0sin（x+t）=a0（cosxcost-sinxsint）+b0（sinxcost+cosxsint）=（a0cost+b0sint）cosx+（b0cost-a0sint）sint，令a0cost+b0sint=at，b0cost-a0sint=bt，则f0（x+t）=（a0cost+b0sint）cosx+（b0cost-a0sint）sint=atcosx+btsintM∈，原命题得证．19．设M=a{a|a=x2-y2，x，yZ}∈．（1）求证：2k+1M∈，（其中kZ∈）；（2）求证：4k-2M∉，（其中kZ∈）（3）属于M的两个整数，其积是否属于M．答案：解：（1）证明：令x=k+1，y=k，kZ∈；则a=x2-y2=2k+1M∈．（2）假设4k-2M∈，那么4k-2=x2-y2，x，yZ∈，则（x2-y2）+=k，则（x-y）（x+y）+=k，则（x-y）（x+y）=2k（2k+1），又∵（x-y）（x+y）不可以是一奇一偶的乘积，4k-2M∴∉，（kZ∈）；第14页（共16页）（3）设a1，a2M∈，则a1a2=（x12-y12）（x22-y22）=x12x22+y12y22-（x22y12+x12y22）=（x1x2+y1y2）2-（x2y1+x1y2）2M∈．解析：解：（1）证明：令x=k+1，y=k，kZ∈；则a=x2-y2=2k+1M∈．（2）假设4k-2M∈，那么4k-2=x2-y2，x，yZ∈，则（x2-y2）+=k，则（x-y）（x+y）+=k，则（x-y）（x+y）=2k（2k+1），又∵（x-y）（x+y）不可以是一奇一偶的乘积，4k-2M∴∉，（kZ∈）；（3）设a1，a2M∈，则a1a2=（x12-y12）（x22-y22）=x12x22+y12y22-（x22y12+x12y22）=（x1x2+y1y2）2-（x2y1+x1y2）2M∈．20．已知集合A={x|x=3n+1，nZ}∈，B={x|x=3n+2，nZ}∈，M={x|x=6n+3，nZ}∈，对于任意aA∈，bB∈，是否一定有a+b=m且mM∈？答案：解：∵aA∈，bB∈；2∴分别存在n1，n2z∈使得：a=3n1+1，b=3n2+2；a+b=3∴（n1+n2）+3；而集合M中的条件是：x=6n+3=3•2n+3；∴要使a+bM∈，则n1+n2=2n，这显然不一定；第15页（共16页）∴不一定有a+b=m且mM∈．解析：解：∵aA∈，bB∈；2∴分别存在n1，n2z∈使得：a=3n1+1，b=3n2+2；a+b=3∴（n1+n2）+3；而集合M中的条件是：x=6n+3=3•2n+3；∴要使a+bM∈，则n1+n2=2n，这显然不一定；∴不一定有a+b=m且mM∈．第16页（共16页）